美妙的黄金分割
黄金分割是一数学比例关系。我们在初中学过，它是由公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉期发现，以严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。应用时一般取1.618，就像圆周率在应用时取3.14一样。用希腊字母φ表示这个值。
我们当时只知道这些信息。通过这次的研究性学习我们知道了很多有关黄金分割在生活中的应用。太广了、太妙了、太不可思议了。
黄金分割是一个古老的数学方法。对它的各种神奇的作用和魔力，数学上至今还没有明确的解释，只是发现它屡屡在实际中发挥我们意想不到的作用。
动物界，形体优美的动物形体，如马，骡、狮、虎、豹、犬等，凡看上去健美的，其身体部分长与宽的比例也大体上接近与黄金分割如：蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比也接近0.618。1.618是0.618的倒数，太神奇了！
而禽兽等高级温动物的体温介乎37-39℃，这一温度正是水的液态范围0--100℃，两个黄金点（0.618）之一，即38℃左右。那么，动物体温为什么不在另一个黄金点62℃左右呢？这是因为，自从宇宙大爆炸以来，伴随着整体的增熵过程还有局部的减熵过程。太阳的形成、生物的进化，都是一个减熵过程，这一过程包括着生物体温从低温向高温进化。因此，生物首先进化到了第一个黄金38℃，这是自然的发展过程。
植物与数学，在一般人看来，是风马牛不相及的两回事，殊不知它们之间有着密切的关系。科学家们发现，千姿百态的植物的外形轮廓并非杂乱无章随心所欲地生长，而是遵循着一定的数学规律。
人们发现，植物叶子，千姿百态，生机盎然，给大自然带来了美丽的绿色世界．尽管叶子形态随种而异，但它在茎上的排列顺序（称为叶序），是极有规律的，不是杂乱无章的。你从植物茎的顶端向下看，经细心观察，发现上下层中相邻的两片叶子之间约成137.5°角．如果每层叶子只画一片来代表，第一层和第二层的相邻两叶之间的角度差约是137.5°，以后二到三层，三到四层，四到五层……两叶之间都成这个角度．植物学家经过计算表明：这个角度对叶子的采光、通风都是最佳的．叶子的排布，多么精巧！
叶子间的137.5°角中，藏有什么“密码”呢？我们知道，一周是360°，
360°-137.5°=222.5°
137.5°∶222.5°≈0.618．
瞧，这就是“密码”！叶子的精巧而神奇的排布中，竟然隐藏着0.618，准确符合数学中的“黄金分割律”。
梨树也是如此，它的叶片排列是沿对数螺旋上升，这也保证了叶与叶之间不会重合，下面的叶片正好在从上面叶片间漏下阳光的空隙地方，这是采光面积最大的排列方式。可见，沿对数螺旋按圆的黄金分割盘旋而生，是叶片排列的最优良选择。
同样在一片叶子中也有黄金分割的现象存在。图中主叶脉与叶柄和主叶脉的长度之和比约为0.618。另外，植物的茎及叶柄的横切面，果实和叶脉结构等也不是随意生就的，它们的几何形状，具有很大的数学意义。
植物的这些数学奇迹并不是偶然的巧合，而是在亿万年的长期进化过程中选择的适应自身生长的最佳方案。科学家们揭示它的规律，并据此建立数学模型，在生产中用于预测和控制农作物群体结构，造福于人类。
它在艺术、建筑、股市、汇市、期货、雕像、绘画、音乐、统筹学、射影、手机、电视机、房地产、网页配色、饮食、睡眠等方面的应用，让我们大开眼界。噢，太神奇了！
米开朗基罗、阿尔布莱希特·丢勒、达·芬奇和许多其他艺术家作品的幻灯片，这些艺术家在设计创作其作品时都有意识地、严格地遵循了黄金分割比率。
爱神的身材端庄秀丽，肌肤丰腴，美丽的椭圆型面庞，希腊式挺直的鼻梁，平坦的前额和丰满的下巴，平静的面容，流露出希腊雕塑艺术鼎盛时期沿袭下来的理想化传统。她那微微扭转的姿势，使半裸的身体构成了一个十分和谐而优美的螺旋型上升体态，富有音乐的韵律感，充满了巨大的魅力。作品中女神的腿被富有表现力的衣褶所覆盖，仅露出脚趾，显得厚重稳定，更衬托出了上身的秀美。她的表情和身姿是那样的庄严崇高而端庄，象一座纪念碑；她又是那样优美，流露出最抒情的女性柔美和妩媚。人们似乎可以感到，女神的心情非常平静，没有半点的娇艳和羞怯，只有纯洁与典雅。她的嘴角上略带笑容，却含而不露，给人以矜持而富有智慧的感觉。尤其令人惊奇的是她的双臂，虽然已经残断，但那雕刻得栩栩如生的身躯，仍然给人以浑然完美之感。
黄金分割是公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯所发现。
一天，毕达哥拉斯从一家铁匠铺路过，被铺子中那有节奏的叮叮当当的打铁声所吸引，便站在那里仔细聆听，似乎这声音中隐匿着什么秘密。他走进作坊，拿出一把尺量了一下铁锤和铁砧的尺寸，发现它们之间存在着一种十分和谐的关系。回到家里，毕达哥拉斯拿出一根线，想将它分为两段。怎样分才最好呢？经过反复比较，他最后确定1：0.618的比例截断最优美。后来，德国的美学家泽辛把这一比例称为黄金分割律。这个规律的意思是，整体与较大部分这比等于较大部分与较小部分之比。无论什么物体、图形，只要它各部分的关系都与这种分割法相符，这类物体、图形就能给人最悦目、最美的印象。人体各部分之间的比例也符合这一规律。中世纪意大利的数学家菲波那契测定了大量的人体后得知，人体肚脐以上的长度与身高之经接近0.618，其中少数人的比值等于0.618的被称为：标准美人“。因此，艺术家们在创作艺术人体时，都以黄金律为标准进行创作。如古希腊神话中的太阳神中的太阳神阿波罗、女神维纳斯的体型，完全与黄金律相符。作为建筑艺术，也遵循着这一规律。文艺复兴时的西方艺术家长艺术理论家把黄金分割律作为艺术建筑必须产物的规律。古希腊的巴底隆神庙严整的大理石柱廓，就是根据黄金分割律分割整个神庙的，因此看上去显得威武、壮观，成为繁荣和美德的象征。0.618在数学中叫黄金比值，又称黄金数。这是意大利著名画家达.芬奇给它的美称。欧洲中世纪的物理学家和天文学家开普勒（J．Kepler1571—1630），曾经说过：“几何学里有二个宝库：一个是毕达哥拉斯定理（我们称为“商高定理”）；另外一个就是黄金分割。前面那个可以比着金矿，而后面那一个可以比着珍贵的钻石矿。”
后来古希腊美学家柏拉图将此称为黄金分割。这其实是一个数字的比例关系，即把一条线分为两部分，此时长段与短段之比恰恰等于整条线与长段之比，其数值比为1.618 : 1或1 : 0.618，也就是说长段的平方等于全长与短段的乘积。0.618，以严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。法布兰斯在13世纪写了一本书，关于一些奇异数字的组合。这些奇异数字的组合是1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233。任何一个数字都是前面两数字的总和：2=1+1、3=2+1、5=3+2、8=5+3，如此类推。有人说这些数字是他从研究金字塔所得出，和金字塔上列奇异数字息息相关。金字塔的几何形状有五个面，八个边，总数为十三个层面。由任何一边看入去，都可以看到三个层面。金字塔的长度为5813寸（5－8－13），而高底和底面百分比率是0．618，那即是上述神秘数字的任何两个连续比率，譬如55/89=0．618，89/144＝0．618，144/233=0．618。
另外，一个金字塔五角塔的任何一边长度都等于这个五角型对角线（Diagonal）的0．618。还有，底部四个边的总数是36524．22寸，这个数字等于光年的一百倍！这组数字十分有趣，0．618的倒数是1．618。譬如14/89＝1．618、233/144＝1．618，而0．618×1．618＝就等于1。有人研究过向日葵，发现向日葵花有89个花辫，55个朝一方，34个朝向另一方。神秘？不错，这组数字就叫做神秘数字。而0．618，1．618就叫做黄金分割率（Golden Section）。
生命中的黄金分割律
令人惊讶的是，科学家们还发现，人的生命的生物和生理现象中也包含着这个神奇的比例。
如：气温在人体正常体温的黄金分割点上——23℃左右时，恰是人的身心最适度的温度；医学专家也观察到，当人的脑电波频率下限是8赫兹，而上限是12.9赫兹，上下限的比率接近于0.618时，乃是身心最具快乐欢愉之感的时刻。正常人的心跳在心电图上也显示出T波出现的位置恰好大约是一次心跳节拍的“黄金分割”位置上。
心电图中也存在黄金分割
组成人体含量最多的物质是水，成年人体水分占体重的0.618。静脉和毛细血管中含血量约占全血量的0.618，一次最大呼气量占肺部气体总量的0.618。我们正常血压的舒张压与收缩压的比例关系，我们正常睡眠时间与活动时间的比例关系也都符合这一比例。还有人类的消化道总长9米，其0.618处为5.5米，正是小肠的长度，恰合黄金分割率。而营养物质的消化吸收，就在小肠进行。这一特点，适合以素食为主的混合膳食结构，素食应占食物总量的0.618。
蛋白质是最重要的营养物质，它由20个氨基酸组成，人体在合成自身蛋白质时，20个的0.618，即12个氨基酸能由机体自身细胞生产，只有另外8个氨基酸要由食物来供给。这8个氨基酸含有的丰富的蛋白质称为优质蛋白质，如动物性食物和豆类。膳食结构中，优质蛋白应占总蛋白质的0.618，才能保证机体的正常新陈代谢，又恰合黄金分割率。
社会科学家长期的研究与统计结果也表明, 如果人的平均寿命是70 岁的话, 那么成年时期的顶峰年龄将是45 岁, 二者的比例关系接近0.618。人在45 岁左右是最富有创造力的年龄，人们经过几十年的艰苦创业与拼搏, 可以积累出最大的精神与物质财富。人在此时最成熟, 社会阅历最丰富。
可见，黄金比率在人的世界（无论是生物环境还是社会环境）中几乎是无所不在的。最有意味的是，在人的生命程序DNA分子中，也包含着“黄金分割比”。它的每个双螺旋结构中都是由长 34个埃与宽21个埃之比组成的，当然34和21是斐波那契系列中的数字，它们的比率为1.6190476，非常接近黄金
黄金分割是一数学比例关系。我们在初中学过，它是由公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉期发现，以严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。应用时一般取1.618，就像圆周率在应用时取3.14一样。用希腊字母φ表示这个值。
我们当时只知道这些信息。通过这次的研究性学习我们知道了很多有关黄金分割在生活中的应用。太广了、太妙了、太不可思议了。
黄金分割是一个古老的数学方法。对它的各种神奇的作用和魔力，数学上至今还没有明确的解释，只是发现它屡屡在实际中发挥我们意想不到的作用。
动物界，形体优美的动物形体，如马，骡、狮、虎、豹、犬等，凡看上去健美的，其身体部分长与宽的比例也大体上接近与黄金分割如：蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比也接近0.618。1.618是0.618的倒数，太神奇了！
而禽兽等高级温动物的体温介乎37-39℃，这一温度正是水的液态范围0--100℃，两个黄金点（0.618）之一，即38℃左右。那么，动物体温为什么不在另一个黄金点62℃左右呢？这是因为，自从宇宙大爆炸以来，伴随着整体的增熵过程还有局部的减熵过程。太阳的形成、生物的进化，都是一个减熵过程，这一过程包括着生物体温从低温向高温进化。因此，生物首先进化到了第一个黄金38℃，这是自然的发展过程。
植物与数学，在一般人看来，是风马牛不相及的两回事，殊不知它们之间有着密切的关系。科学家们发现，千姿百态的植物的外形轮廓并非杂乱无章随心所欲地生长，而是遵循着一定的数学规律。
人们发现，植物叶子，千姿百态，生机盎然，给大自然带来了美丽的绿色世界．尽管叶子形态随种而异，但它在茎上的排列顺序（称为叶序），是极有规律的，不是杂乱无章的。你从植物茎的顶端向下看，经细心观察，发现上下层中相邻的两片叶子之间约成137.5°角．如果每层叶子只画一片来代表，第一层和第二层的相邻两叶之间的角度差约是137.5°，以后二到三层，三到四层，四到五层……两叶之间都成这个角度．植物学家经过计算表明：这个角度对叶子的采光、通风都是最佳的．叶子的排布，多么精巧！
叶子间的137.5°角中，藏有什么“密码”呢？我们知道，一周是360°，
360°-137.5°=222.5°
137.5°∶222.5°≈0.618．
瞧，这就是“密码”！叶子的精巧而神奇的排布中，竟然隐藏着0.618，准确符合数学中的“黄金分割律”。
梨树也是如此，它的叶片排列是沿对数螺旋上升，这也保证了叶与叶之间不会重合，下面的叶片正好在从上面叶片间漏下阳光的空隙地方，这是采光面积最大的排列方式。可见，沿对数螺旋按圆的黄金分割盘旋而生，是叶片排列的最优良选择。
同样在一片叶子中也有黄金分割的现象存在。图中主叶脉与叶柄和主叶脉的长度之和比约为0.618。另外，植物的茎及叶柄的横切面，果实和叶脉结构等也不是随意生就的，它们的几何形状，具有很大的数学意义。
植物的这些数学奇迹并不是偶然的巧合，而是在亿万年的长期进化过程中选择的适应自身生长的最佳方案。科学家们揭示它的规律，并据此建立数学模型，在生产中用于预测和控制农作物群体结构，造福于人类。
它在艺术、建筑、股市、汇市、期货、雕像、绘画、音乐、统筹学、射影、手机、电视机、房地产、网页配色、饮食、睡眠等方面的应用，让我们大开眼界。噢，太神奇了！
米开朗基罗、阿尔布莱希特·丢勒、达·芬奇和许多其他艺术家作品的幻灯片，这些艺术家在设计创作其作品时都有意识地、严格地遵循了黄金分割比率。
爱神的身材端庄秀丽，肌肤丰腴，美丽的椭圆型面庞，希腊式挺直的鼻梁，平坦的前额和丰满的下巴，平静的面容，流露出希腊雕塑艺术鼎盛时期沿袭下来的理想化传统。她那微微扭转的姿势，使半裸的身体构成了一个十分和谐而优美的螺旋型上升体态，富有音乐的韵律感，充满了巨大的魅力。作品中女神的腿被富有表现力的衣褶所覆盖，仅露出脚趾，显得厚重稳定，更衬托出了上身的秀美。她的表情和身姿是那样的庄严崇高而端庄，象一座纪念碑；她又是那样优美，流露出最抒情的女性柔美和妩媚。人们似乎可以感到，女神的心情非常平静，没有半点的娇艳和羞怯，只有纯洁与典雅。她的嘴角上略带笑容，却含而不露，给人以矜持而富有智慧的感觉。尤其令人惊奇的是她的双臂，虽然已经残断，但那雕刻得栩栩如生的身躯，仍然给人以浑然完美之感。
黄金分割是公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯所发现。
一天，毕达哥拉斯从一家铁匠铺路过，被铺子中那有节奏的叮叮当当的打铁声所吸引，便站在那里仔细聆听，似乎这声音中隐匿着什么秘密。他走进作坊，拿出一把尺量了一下铁锤和铁砧的尺寸，发现它们之间存在着一种十分和谐的关系。回到家里，毕达哥拉斯拿出一根线，想将它分为两段。怎样分才最好呢？经过反复比较，他最后确定1：0.618的比例截断最优美。后来，德国的美学家泽辛把这一比例称为黄金分割律。这个规律的意思是，整体与较大部分这比等于较大部分与较小部分之比。无论什么物体、图形，只要它各部分的关系都与这种分割法相符，这类物体、图形就能给人最悦目、最美的印象。人体各部分之间的比例也符合这一规律。中世纪意大利的数学家菲波那契测定了大量的人体后得知，人体肚脐以上的长度与身高之经接近0.618，其中少数人的比值等于0.618的被称为：标准美人“。因此，艺术家们在创作艺术人体时，都以黄金律为标准进行创作。如古希腊神话中的太阳神中的太阳神阿波罗、女神维纳斯的体型，完全与黄金律相符。作为建筑艺术，也遵循着这一规律。文艺复兴时的西方艺术家长艺术理论家把黄金分割律作为艺术建筑必须产物的规律。古希腊的巴底隆神庙严整的大理石柱廓，就是根据黄金分割律分割整个神庙的，因此看上去显得威武、壮观，成为繁荣和美德的象征。0.618在数学中叫黄金比值，又称黄金数。这是意大利著名画家达.芬奇给它的美称。欧洲中世纪的物理学家和天文学家开普勒（J．Kepler1571—1630），曾经说过：“几何学里有二个宝库：一个是毕达哥拉斯定理（我们称为“商高定理”）；另外一个就是黄金分割。前面那个可以比着金矿，而后面那一个可以比着珍贵的钻石矿。”
后来古希腊美学家柏拉图将此称为黄金分割。这其实是一个数字的比例关系，即把一条线分为两部分，此时长段与短段之比恰恰等于整条线与长段之比，其数值比为1.618 : 1或1 : 0.618，也就是说长段的平方等于全长与短段的乘积。0.618，以严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。法布兰斯在13世纪写了一本书，关于一些奇异数字的组合。这些奇异数字的组合是1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233。任何一个数字都是前面两数字的总和：2=1+1、3=2+1、5=3+2、8=5+3，如此类推。有人说这些数字是他从研究金字塔所得出，和金字塔上列奇异数字息息相关。金字塔的几何形状有五个面，八个边，总数为十三个层面。由任何一边看入去，都可以看到三个层面。金字塔的长度为5813寸（5－8－13），而高底和底面百分比率是0．618，那即是上述神秘数字的任何两个连续比率，譬如55/89=0．618，89/144＝0．618，144/233=0．618。
另外，一个金字塔五角塔的任何一边长度都等于这个五角型对角线（Diagonal）的0．618。还有，底部四个边的总数是36524．22寸，这个数字等于光年的一百倍！这组数字十分有趣，0．618的倒数是1．618。譬如14/89＝1．618、233/144＝1．618，而0．618×1．618＝就等于1。有人研究过向日葵，发现向日葵花有89个花辫，55个朝一方，34个朝向另一方。神秘？不错，这组数字就叫做神秘数字。而0．618，1．618就叫做黄金分割率（Golden Section）。
生命中的黄金分割律
令人惊讶的是，科学家们还发现，人的生命的生物和生理现象中也包含着这个神奇的比例。
如：气温在人体正常体温的黄金分割点上——23℃左右时，恰是人的身心最适度的温度；医学专家也观察到，当人的脑电波频率下限是8赫兹，而上限是12.9赫兹，上下限的比率接近于0.618时，乃是身心最具快乐欢愉之感的时刻。正常人的心跳在心电图上也显示出T波出现的位置恰好大约是一次心跳节拍的“黄金分割”位置上。
心电图中也存在黄金分割
组成人体含量最多的物质是水，成年人体水分占体重的0.618。静脉和毛细血管中含血量约占全血量的0.618，一次最大呼气量占肺部气体总量的0.618。我们正常血压的舒张压与收缩压的比例关系，我们正常睡眠时间与活动时间的比例关系也都符合这一比例。还有人类的消化道总长9米，其0.618处为5.5米，正是小肠的长度，恰合黄金分割率。而营养物质的消化吸收，就在小肠进行。这一特点，适合以素食为主的混合膳食结构，素食应占食物总量的0.618。
蛋白质是最重要的营养物质，它由20个氨基酸组成，人体在合成自身蛋白质时，20个的0.618，即12个氨基酸能由机体自身细胞生产，只有另外8个氨基酸要由食物来供给。这8个氨基酸含有的丰富的蛋白质称为优质蛋白质，如动物性食物和豆类。膳食结构中，优质蛋白应占总蛋白质的0.618，才能保证机体的正常新陈代谢，又恰合黄金分割率。
社会科学家长期的研究与统计结果也表明, 如果人的平均寿命是70 岁的话, 那么成年时期的顶峰年龄将是45 岁, 二者的比例关系接近0.618。人在45 岁左右是最富有创造力的年龄，人们经过几十年的艰苦创业与拼搏, 可以积累出最大的精神与物质财富。人在此时最成熟, 社会阅历最丰富。
可见，黄金比率在人的世界（无论是生物环境还是社会环境）中几乎是无所不在的。最有意味的是，在人的生命程序DNA分子中，也包含着“黄金分割比”。它的每个双螺旋结构中都是由长 34个埃与宽21个埃之比组成的，当然34和21是斐波那契系列中的数字，它们的比率为1.6190476，非常接近黄金
“黄金矩形”
“黄金矩形”：从外在形式上说，它最具美感，国旗的矩形就选择了“黄金矩形”。而从其根本来讲，它的宽与长之比恰为黄金数。从其中截取一个以原“黄金矩形”的宽为边长的正方形后，所剩的矩形仍为“黄金矩形”。
黄金矩形是一个长和宽的比有特殊比例的矩形，很多国家的国旗就是黄金矩形。生活中用的纸为黄金矩形，这样的长方形让人看起来舒服顺眼，正规裁法得到的纸张，不管其大小，如对于8开、16开、32开等，都仍然是近似的黄金矩形。
著名的巴台农神庙即是黄金矩形
在日常生活中，最和谐悦目的矩形，如电视屏幕、写字台面、书籍、衣服、门窗等，其短边与长边之比为０．６１８，你会因此比例协调而赏心悦目。甚至连火柴盒、国旗的长宽比例设计，都恪守０．６１８比值。
黄金分割在乐器中有极为广泛的应用，无论是西洋乐器或是我国得民乐乐器，黄金分割在其制作和演奏上都起到了和谐音色及共鸣的作用。
小提琴是一种一种造型优美、声音诱人的弦乐器。为了制造出音色极佳的小提琴，古往今来，不知道有多少小提琴制造家、音乐家、科学家献出了毕生的精力而默默无闻地工作着。16世纪以来，意大利涌现出许多小提琴制作巨匠。他们制作的琴，成为世界小提琴演奏家爱不释手的名琴、收藏家高价收藏的珍品。斯特拉地瓦利小提琴为什么能发出如此优美动听的声音呢？小提琴结构中的黄金分割律是使小提琴音色优美动听的一个重要因素。黄金分割律在小提琴结构中是至关重要的定律。提琴共鸣箱最宽处和箱长之比，以及共鸣箱最厚处与箱体最窄处之比，皆符合黄金律。
黄金分割在小提琴中的应用
1．琴体全长593，其黄金分割长度为共鸣箱的长度（355）：593 x 0．618＝366．474 366．474－ 355= 11．474（差数）
2．共鸣箱长度（366．474），再经黄金分割，为琴头（107）加琴颈（138）的长度（实际长度为245）：366．474 x 0．618＝ 226．481（差18．519）。
3．把用黄金分割律求出琴颈加琴头的长度（226．481）进行第三次黄金分割，为面板前端至g弦轴的长度：226．481x 0．618＝139．965
4．指板长度271，对它进行第一次黄金分割，为尾枕至马子中心的长度：271x 0．618＝ 167．478
5．对求出的尾枕至马子中心的长度（167．478）进行第二次黄金分割为琴头的长度：167．478 x 0．618， 103．501（差3．499）
6．对求出的琴头的长度（103．501）进行第三次黄金分割，为g弦轴至a弦轴的距离：103．501x 0．618＝ 63．964
7.小提琴实际有效弦长为327，对它进行黄金分割，为马子中心至面板上端的长度：327 x 0．618＝ 202．086（差l～3）
8．对求出的马子中心至面板上端的长度（202.086）进行第二次黄金分割，为尾钮至弦总上端的长度：202.086 x 0．618＝ 124．889
9.对求出的尾钮至弦总上端长度（124.889)进行第三次黄金分割，为弦枕到弦槽上边的距离：124．889 x 0．618＝77.181
10. 对所求出的弦枕到弦槽上边的距离（77．181）进行第四次黄金分割，为指板末端至马脚的距离：77．181x 0．618＝ 47．698（差1~ 2）
11．对求出的指板末端至马脚的距离（47．698）再进行第五次黄金分割，为侧板上部的宽度：47．698 x 0. 618= 29．477（差0．523）
12．对低音梁进行黄金分割，并使黄金分割点与重心点完全吻合，是发音优美的关键条件。低音梁长度280，黄金分割长度为：280 x 0．618＝ 173．04
小提琴马子左侧脚长13，共黄金分割长度为：13 x 0．618= 8．034
低音梁重心点、黄金分割点与左马脚黄金分割点三点完全垂直重合时，小提琴音响效应处于最佳状态。
13．小提琴音柱的安装，一直是难于准确解决的问题，一般凭经验可以找到大体上的位置，可是最佳位置在什么地方，这就难于准确说明了。求音柱的最佳位置的具体作法如下。连接两个f孔的上下两端，得ab和cd两条直线。ab、cd是平行线。ab、cd两线的垂直距离hd为75。
对hd（75）进行黄金分割，其分割长度he为：75 x 0．618＝46．35通过e作ab或cd的平行线（或pm的垂线）与f孔两外侧相交于f、g．求得fg的垂直距离为90。
对fg进行黄金分割，求得分割长度fo为：90 x 0．618= 55．62
通过o作ab、cd的垂线（或pm的平行线），求得ln，则fg与ln的交点o就是音柱的最佳位置。此外，古琴的设计“以琴长全体三分损一，又三分益一，而转相增减”，全弦共有十三徽。把这些排列到一起，二池，三纽，五弦，八音，十三徽，正是具有1.618之美的费波那契数列。在贝多芬，莫扎特，巴赫等音乐家的作品里也都流淌着黄金分割的完美和谐。
在人们公认美的事物中，例如埃及金字塔，巴黎服饰，达芬奇的微笑中的《蒙娜丽莎》，贝多芬的交响乐，雕刻等等，都恰如其分的运用了黄金分割比例的协调性，使人们产生美感共鸣。
黄金分割比率运用于发型设计，会使发型形成变化统一及和谐的美感。专业美发师在发型设计中处理发型与脸型、骨骼、身材比例关系，黄金分割律是常用的艺术技巧和方法，对发型外轮廓形状，层次落差、重量移动，结合顾客的内外在素材搭配,也是运用黄金分割组合的结构形式。但须注意的是，发型款式的多变及创造,又具有自由性或随意性，因此对黄金分[]律的运用不可绝对化。在艺术创造中许多不合比例的结构却能显示一种特殊的如另类，叛逆的美感。发型设计也是相同原理。
发型设计与黄金分割
发型设计需结合顾客头部骨骼形态、脸型、身材、气质等，突出顾客的个性美感，影响发型设计的因素，分区，发长设定。
在发型设计概念中，分区的比例，例如：三大连接区，对于美感过渡是一项重要的环节，此用了黄金分割律，使发型师在创作发型时的空间视野更加开阔，更易准确的捕捉生活中的灵性。
发长设定，直接会影响到视觉效果。需考虑发片三度空间变化对于头形骨骼凸凹面及毛流的控制。在短发设计中，注重对头形骨骼的调整，这就需要设定出内，外*廓落差比例。例短发后头部通常要体现出立体饱满度。当颈背线发长设定好以后，需在裁剪时掌握纵向圆周层次落差及横向圆周发根宽重量移动。
美感饱满度控制在纵向1：0.618，横向美感转折控制在耳后连接区处，此美感是最具立体感与动感的。同样我们也可以用发根宽的移动来调整头骨自身素材。当遇头形横向较宽大者，发根宽后移，有收缩视觉的效果差位置及重量转折掌控在黄金分割比例1：0.618下或以上，美感看起就会有缺憾。
在设计中长发时，以对脸形五官的修饰为主，不同区域发长落点使脸形趋向标准美感。长度设定多需参照五官，内*廓发长对修饰脸型颧骨，下颚骨，颈部等扮演着重要角色，起到扬长避短的感觉。
长发讲究外轮廓美感，发长应与身材协调，应用黄金分割比例设计，会使发型创作美感更易于把握。通常身材矮小者，易留短发或中长发，显得身材高桃挺拔，身材高大者，留中长发或长发，对身材比例上起到互补作用。
刘海设计在发型创作中起着画龙点睛的作用，刘海可以赋予发型生命力与时尚感，不管是分区的设计还是发长的设定，都与黄金分割律有着密不可分的关系。
刘海区域占顶区1/3面积，较能有效控制脸型的宽窄。用此区域对掌握脸型变大变小起着决定作手用。
刘海可以修饰额头宽窄、凸平，调整脸形长短，胖瘦比例。在短刘海设计上、根据额头宽窄、长、短、在眉毛与发际线之间，可以运用0.618:0.382的比例，调整额头凸出者或三庭比例较长者，可以遮盖缺陷或缩短脸形，或用0.382:0.618的比例，修饰额头较窄，短者，或额头美感不错者，会给人以拉长脸形或个性的展现。在长刘海设计时，针对整个脸形长短，利用发长与脸长比例1：0.618，可以起到修饰颧骨，下颚骨及脸形胖瘦的效果。
学会让自已懂得运用，“黄金分割律”为起点的美感，对整体造型或自身艺术素养有一个完美的认识，发挥出自身潜能的每一个灵感受，让我们也可以创作出黄金分割比例的美感，不公对自身工作不断提高，也会对自已追求的创作目标给予肯定，不要受传统压制，大胆的运用我们所能理解的一切美的灵感去创造于万物的美感。
人体与黄金分割
人体结构中有14个“黄金点”（物体短段与长段之比值为 0.618），12个“黄金矩形”（宽与长比值为 0.618的长方形）和２个“黄金指数”（两物体间的比例关系为 0.618）。
黄金点：
肚脐：头顶－足底之分割点；
咽喉：头顶－肚脐之分割点；
膝关节：肚脐－足底之分割点；
肘关节：肩关节－中指尖之分割点；
乳头：躯干乳头纵轴上这分割点；
眉间点：发际－颏底间距上1/3与中下2/3之分割点；
鼻下点：发际－颏底间距下1/3与上中2/3之分割点；
唇珠点：鼻底－颏底间距上1/3与中下2/3之分割点；
颏唇沟正路点：鼻底－颏底间距下1/3与上中2/3之分割点；
左口角点：口裂水平线左1/3与右2/3之分割点；
右口角点：口裂水平线右1/3与左2/3之分割点。
面部黄金分割律
黄金矩形：
躯体轮廓：肩宽与臀宽的平均数为宽，肩峰至臀底的高度为长；
面部轮廓：眼水平线的面宽为宽，发际至颏底间距为长；
鼻部轮廓：鼻翼为宽，鼻根至鼻底间距为长；
唇部轮廓：静止状态时上下唇峰间距为宽，口角间距为长；
手部轮廓：手的横径为宽，五指并拢时取平均数为长；
上颌切牙、侧切牙、尖牙（左右各三个）轮廓：最大的近远中径 为宽，齿龈径为长。
黄金指数：
反映鼻口关系的鼻唇指数：鼻翼宽与口角间距之比近似黄金数；
反映眼口关系的目唇指数：口角间距与两眼外眦间距之比近似黄金数。
0.618，作为一个人体健美的标准尺度之一，是无可非议的，但不能忽视其存在着“模糊特性”，它同其它美学参数一样，都有一个允许变化的幅度，受种族、地域、个体差异的制约。
为什么人们对这样的比例，会本能地感到美的存在？其实这与人类的演化和人体正常发育密切相关<
“黄金矩形”：从外在形式上说，它最具美感，国旗的矩形就选择了“黄金矩形”。而从其根本来讲，它的宽与长之比恰为黄金数。从其中截取一个以原“黄金矩形”的宽为边长的正方形后，所剩的矩形仍为“黄金矩形”。
黄金矩形是一个长和宽的比有特殊比例的矩形，很多国家的国旗就是黄金矩形。生活中用的纸为黄金矩形，这样的长方形让人看起来舒服顺眼，正规裁法得到的纸张，不管其大小，如对于8开、16开、32开等，都仍然是近似的黄金矩形。
著名的巴台农神庙即是黄金矩形
在日常生活中，最和谐悦目的矩形，如电视屏幕、写字台面、书籍、衣服、门窗等，其短边与长边之比为０．６１８，你会因此比例协调而赏心悦目。甚至连火柴盒、国旗的长宽比例设计，都恪守０．６１８比值。
黄金分割在乐器中有极为广泛的应用，无论是西洋乐器或是我国得民乐乐器，黄金分割在其制作和演奏上都起到了和谐音色及共鸣的作用。
小提琴是一种一种造型优美、声音诱人的弦乐器。为了制造出音色极佳的小提琴，古往今来，不知道有多少小提琴制造家、音乐家、科学家献出了毕生的精力而默默无闻地工作着。16世纪以来，意大利涌现出许多小提琴制作巨匠。他们制作的琴，成为世界小提琴演奏家爱不释手的名琴、收藏家高价收藏的珍品。斯特拉地瓦利小提琴为什么能发出如此优美动听的声音呢？小提琴结构中的黄金分割律是使小提琴音色优美动听的一个重要因素。黄金分割律在小提琴结构中是至关重要的定律。提琴共鸣箱最宽处和箱长之比，以及共鸣箱最厚处与箱体最窄处之比，皆符合黄金律。
黄金分割在小提琴中的应用
1．琴体全长593，其黄金分割长度为共鸣箱的长度（355）：593 x 0．618＝366．474 366．474－ 355= 11．474（差数）
2．共鸣箱长度（366．474），再经黄金分割，为琴头（107）加琴颈（138）的长度（实际长度为245）：366．474 x 0．618＝ 226．481（差18．519）。
3．把用黄金分割律求出琴颈加琴头的长度（226．481）进行第三次黄金分割，为面板前端至g弦轴的长度：226．481x 0．618＝139．965
4．指板长度271，对它进行第一次黄金分割，为尾枕至马子中心的长度：271x 0．618＝ 167．478
5．对求出的尾枕至马子中心的长度（167．478）进行第二次黄金分割为琴头的长度：167．478 x 0．618， 103．501（差3．499）
6．对求出的琴头的长度（103．501）进行第三次黄金分割，为g弦轴至a弦轴的距离：103．501x 0．618＝ 63．964
7.小提琴实际有效弦长为327，对它进行黄金分割，为马子中心至面板上端的长度：327 x 0．618＝ 202．086（差l～3）
8．对求出的马子中心至面板上端的长度（202.086）进行第二次黄金分割，为尾钮至弦总上端的长度：202.086 x 0．618＝ 124．889
9.对求出的尾钮至弦总上端长度（124.889)进行第三次黄金分割，为弦枕到弦槽上边的距离：124．889 x 0．618＝77.181
10. 对所求出的弦枕到弦槽上边的距离（77．181）进行第四次黄金分割，为指板末端至马脚的距离：77．181x 0．618＝ 47．698（差1~ 2）
11．对求出的指板末端至马脚的距离（47．698）再进行第五次黄金分割，为侧板上部的宽度：47．698 x 0. 618= 29．477（差0．523）
12．对低音梁进行黄金分割，并使黄金分割点与重心点完全吻合，是发音优美的关键条件。低音梁长度280，黄金分割长度为：280 x 0．618＝ 173．04
小提琴马子左侧脚长13，共黄金分割长度为：13 x 0．618= 8．034
低音梁重心点、黄金分割点与左马脚黄金分割点三点完全垂直重合时，小提琴音响效应处于最佳状态。
13．小提琴音柱的安装，一直是难于准确解决的问题，一般凭经验可以找到大体上的位置，可是最佳位置在什么地方，这就难于准确说明了。求音柱的最佳位置的具体作法如下。连接两个f孔的上下两端，得ab和cd两条直线。ab、cd是平行线。ab、cd两线的垂直距离hd为75。
对hd（75）进行黄金分割，其分割长度he为：75 x 0．618＝46．35通过e作ab或cd的平行线（或pm的垂线）与f孔两外侧相交于f、g．求得fg的垂直距离为90。
对fg进行黄金分割，求得分割长度fo为：90 x 0．618= 55．62
通过o作ab、cd的垂线（或pm的平行线），求得ln，则fg与ln的交点o就是音柱的最佳位置。此外，古琴的设计“以琴长全体三分损一，又三分益一，而转相增减”，全弦共有十三徽。把这些排列到一起，二池，三纽，五弦，八音，十三徽，正是具有1.618之美的费波那契数列。在贝多芬，莫扎特，巴赫等音乐家的作品里也都流淌着黄金分割的完美和谐。
在人们公认美的事物中，例如埃及金字塔，巴黎服饰，达芬奇的微笑中的《蒙娜丽莎》，贝多芬的交响乐，雕刻等等，都恰如其分的运用了黄金分割比例的协调性，使人们产生美感共鸣。
黄金分割比率运用于发型设计，会使发型形成变化统一及和谐的美感。专业美发师在发型设计中处理发型与脸型、骨骼、身材比例关系，黄金分割律是常用的艺术技巧和方法，对发型外轮廓形状，层次落差、重量移动，结合顾客的内外在素材搭配,也是运用黄金分割组合的结构形式。但须注意的是，发型款式的多变及创造,又具有自由性或随意性，因此对黄金分[]律的运用不可绝对化。在艺术创造中许多不合比例的结构却能显示一种特殊的如另类，叛逆的美感。发型设计也是相同原理。
发型设计与黄金分割
发型设计需结合顾客头部骨骼形态、脸型、身材、气质等，突出顾客的个性美感，影响发型设计的因素，分区，发长设定。
在发型设计概念中，分区的比例，例如：三大连接区，对于美感过渡是一项重要的环节，此用了黄金分割律，使发型师在创作发型时的空间视野更加开阔，更易准确的捕捉生活中的灵性。
发长设定，直接会影响到视觉效果。需考虑发片三度空间变化对于头形骨骼凸凹面及毛流的控制。在短发设计中，注重对头形骨骼的调整，这就需要设定出内，外*廓落差比例。例短发后头部通常要体现出立体饱满度。当颈背线发长设定好以后，需在裁剪时掌握纵向圆周层次落差及横向圆周发根宽重量移动。
美感饱满度控制在纵向1：0.618，横向美感转折控制在耳后连接区处，此美感是最具立体感与动感的。同样我们也可以用发根宽的移动来调整头骨自身素材。当遇头形横向较宽大者，发根宽后移，有收缩视觉的效果差位置及重量转折掌控在黄金分割比例1：0.618下或以上，美感看起就会有缺憾。
在设计中长发时，以对脸形五官的修饰为主，不同区域发长落点使脸形趋向标准美感。长度设定多需参照五官，内*廓发长对修饰脸型颧骨，下颚骨，颈部等扮演着重要角色，起到扬长避短的感觉。
长发讲究外轮廓美感，发长应与身材协调，应用黄金分割比例设计，会使发型创作美感更易于把握。通常身材矮小者，易留短发或中长发，显得身材高桃挺拔，身材高大者，留中长发或长发，对身材比例上起到互补作用。
刘海设计在发型创作中起着画龙点睛的作用，刘海可以赋予发型生命力与时尚感，不管是分区的设计还是发长的设定，都与黄金分割律有着密不可分的关系。
刘海区域占顶区1/3面积，较能有效控制脸型的宽窄。用此区域对掌握脸型变大变小起着决定作手用。
刘海可以修饰额头宽窄、凸平，调整脸形长短，胖瘦比例。在短刘海设计上、根据额头宽窄、长、短、在眉毛与发际线之间，可以运用0.618:0.382的比例，调整额头凸出者或三庭比例较长者，可以遮盖缺陷或缩短脸形，或用0.382:0.618的比例，修饰额头较窄，短者，或额头美感不错者，会给人以拉长脸形或个性的展现。在长刘海设计时，针对整个脸形长短，利用发长与脸长比例1：0.618，可以起到修饰颧骨，下颚骨及脸形胖瘦的效果。
学会让自已懂得运用，“黄金分割律”为起点的美感，对整体造型或自身艺术素养有一个完美的认识，发挥出自身潜能的每一个灵感受，让我们也可以创作出黄金分割比例的美感，不公对自身工作不断提高，也会对自已追求的创作目标给予肯定，不要受传统压制，大胆的运用我们所能理解的一切美的灵感去创造于万物的美感。
人体与黄金分割
人体结构中有14个“黄金点”（物体短段与长段之比值为 0.618），12个“黄金矩形”（宽与长比值为 0.618的长方形）和２个“黄金指数”（两物体间的比例关系为 0.618）。
黄金点：
肚脐：头顶－足底之分割点；
咽喉：头顶－肚脐之分割点；
膝关节：肚脐－足底之分割点；
肘关节：肩关节－中指尖之分割点；
乳头：躯干乳头纵轴上这分割点；
眉间点：发际－颏底间距上1/3与中下2/3之分割点；
鼻下点：发际－颏底间距下1/3与上中2/3之分割点；
唇珠点：鼻底－颏底间距上1/3与中下2/3之分割点；
颏唇沟正路点：鼻底－颏底间距下1/3与上中2/3之分割点；
左口角点：口裂水平线左1/3与右2/3之分割点；
右口角点：口裂水平线右1/3与左2/3之分割点。
面部黄金分割律
黄金矩形：
躯体轮廓：肩宽与臀宽的平均数为宽，肩峰至臀底的高度为长；
面部轮廓：眼水平线的面宽为宽，发际至颏底间距为长；
鼻部轮廓：鼻翼为宽，鼻根至鼻底间距为长；
唇部轮廓：静止状态时上下唇峰间距为宽，口角间距为长；
手部轮廓：手的横径为宽，五指并拢时取平均数为长；
上颌切牙、侧切牙、尖牙（左右各三个）轮廓：最大的近远中径 为宽，齿龈径为长。
黄金指数：
反映鼻口关系的鼻唇指数：鼻翼宽与口角间距之比近似黄金数；
反映眼口关系的目唇指数：口角间距与两眼外眦间距之比近似黄金数。
0.618，作为一个人体健美的标准尺度之一，是无可非议的，但不能忽视其存在着“模糊特性”，它同其它美学参数一样，都有一个允许变化的幅度，受种族、地域、个体差异的制约。
为什么人们对这样的比例，会本能地感到美的存在？其实这与人类的演化和人体正常发育密切相关<
自然的艺术：斐波那契螺旋
……他的同胞用这个绰号*来称呼他，是为了对这么一个把精力都花在了提出毫无实际价值的问题上的人表达他们的轻蔑呢，还是因为在图什干方言里这词意味着不停地旅行？他到底是哪种人呢？……
——科学人物辞典(New York 1970-1990) (* 指Bigollo一词，意大利图什干方言，意为“一无所长的人”，或“流浪汉”)
斐波那契螺旋
斐波那契(Leonardo Fibonacci, 约1175-约1240)也许是在生活在丢番图(Diophantos)之后费尔马(Pierre de Fermat)之前这2000年间欧洲最杰出的数论学家。我们对他的生平知道得很少。他出生在意大利那个后来因为伽里略做过落体实验而著名的斜塔所在的城市里，现在那里还有他的一座雕像。他年轻是跟随经商的父亲在北非和欧洲旅行，大概就是由此而学习到了世界各地不同的算术体系。在他最重要的著作《算盘书》（Liber Abaci，写于1202年）中，引进了印度-阿拉伯数码（包括0）及其演算法则。数论方面他在丢番图方程和同余方程方面有重要贡献。
坐落在意大利比萨的斐波那契雕像
数学中有一个以他的名字命名的著名数列：
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ……从第三项开始每一项都是数列中前两项之和。这个数列是斐波那契在他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的。在问题中他假设如果一对兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三个月，又能开始生小兔，如果没有死亡，由一对刚出生的小兔开始，一年后一共会有多少对兔子？将问题一般化后答案就是，第n个月时的兔子数就是斐波那契数列的第n项。斐波那契数列和黄金分割数有很密切的联系。
斐波那契并没有把这个问题和这个数列看得特别重要，在《算盘书》中兔子问题只不过是书里许多问题中并不特别的其中一个罢了。但是在此后的岁月中，这个数列似乎和题中的高产兔子一样，引发了为数众多的数学论文和介绍文章（本文似乎也在步此后尘）。不过在这里我不想介绍浩如烟海的有关斐波那契数列的数学文章，只想欣赏大自然的造化。
在现实的自然世界中，《算盘书》里那样的神奇兔子自然是找不到的，但是这并不妨碍大自然使用斐波那契数列。本期封面上是起绒草椭球状的花头，你可以看见那上面有许多螺旋。很容易想像，如果从上面俯视下去的话，这些螺旋从中心向外盘旋，有些是顺时针方向的，还有些是逆时针方向的。为了仔细观察这些螺旋，我们挑选另一种具有类似特点的植物——蓟，它们的头部几乎呈球状。在下面这个图里，标出了两条不同方向的螺旋。我们可以数一下，顺时针旋转的（和左边那条旋转方向相同）螺旋一共有13条，而逆时针旋转的则有
21条。而下面这幅图中的顺逆方向螺旋数目则恰好相反。
具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部
具有13条逆时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部
以这样的形式排列种子、花瓣或叶子的植物还有很多（最容易让人想到的是向日葵），下面的图片是一些看起来明显的例子（可以点击看大图），事实上许多常见的植物，我们食用的蔬菜如青菜，包心菜，芹菜等的叶子排列也具有这个特性，只是不容易观察清楚。尽管这些逆螺旋的数目并不固定，但它们也并不随机，它们是斐波那契序列中的相邻数字。这样的螺旋被称为斐波那契螺旋。
自然界中各种各样的斐波那契螺旋
这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此，对于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360度之比是黄金分割数1.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时能达到89，甚至144条。
由于是自然规律而并非抽象的数学或哲学原理决定了植物各种器官的排列图样；另外还有具体环境的影响，比如地形、气候或病害，你并不总能找到完美的斐波那契螺旋。即使是生长得很健康的植物，也难免有这样那样的缺陷。仔细观察上面的图片，你会发现螺旋的中心经常是一片混乱。所以最后还是让我们来欣赏一下由计算机绘制出来的完美的斐波那契螺旋吧。
计算机绘制的斐波那契螺旋
……他的同胞用这个绰号*来称呼他，是为了对这么一个把精力都花在了提出毫无实际价值的问题上的人表达他们的轻蔑呢，还是因为在图什干方言里这词意味着不停地旅行？他到底是哪种人呢？……
——科学人物辞典(New York 1970-1990) (* 指Bigollo一词，意大利图什干方言，意为“一无所长的人”，或“流浪汉”)
斐波那契螺旋
斐波那契(Leonardo Fibonacci, 约1175-约1240)也许是在生活在丢番图(Diophantos)之后费尔马(Pierre de Fermat)之前这2000年间欧洲最杰出的数论学家。我们对他的生平知道得很少。他出生在意大利那个后来因为伽里略做过落体实验而著名的斜塔所在的城市里，现在那里还有他的一座雕像。他年轻是跟随经商的父亲在北非和欧洲旅行，大概就是由此而学习到了世界各地不同的算术体系。在他最重要的著作《算盘书》（Liber Abaci，写于1202年）中，引进了印度-阿拉伯数码（包括0）及其演算法则。数论方面他在丢番图方程和同余方程方面有重要贡献。
坐落在意大利比萨的斐波那契雕像
数学中有一个以他的名字命名的著名数列：
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ……从第三项开始每一项都是数列中前两项之和。这个数列是斐波那契在他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的。在问题中他假设如果一对兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三个月，又能开始生小兔，如果没有死亡，由一对刚出生的小兔开始，一年后一共会有多少对兔子？将问题一般化后答案就是，第n个月时的兔子数就是斐波那契数列的第n项。斐波那契数列和黄金分割数有很密切的联系。
斐波那契并没有把这个问题和这个数列看得特别重要，在《算盘书》中兔子问题只不过是书里许多问题中并不特别的其中一个罢了。但是在此后的岁月中，这个数列似乎和题中的高产兔子一样，引发了为数众多的数学论文和介绍文章（本文似乎也在步此后尘）。不过在这里我不想介绍浩如烟海的有关斐波那契数列的数学文章，只想欣赏大自然的造化。
在现实的自然世界中，《算盘书》里那样的神奇兔子自然是找不到的，但是这并不妨碍大自然使用斐波那契数列。本期封面上是起绒草椭球状的花头，你可以看见那上面有许多螺旋。很容易想像，如果从上面俯视下去的话，这些螺旋从中心向外盘旋，有些是顺时针方向的，还有些是逆时针方向的。为了仔细观察这些螺旋，我们挑选另一种具有类似特点的植物——蓟，它们的头部几乎呈球状。在下面这个图里，标出了两条不同方向的螺旋。我们可以数一下，顺时针旋转的（和左边那条旋转方向相同）螺旋一共有13条，而逆时针旋转的则有
21条。而下面这幅图中的顺逆方向螺旋数目则恰好相反。
具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部
具有13条逆时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部
以这样的形式排列种子、花瓣或叶子的植物还有很多（最容易让人想到的是向日葵），下面的图片是一些看起来明显的例子（可以点击看大图），事实上许多常见的植物，我们食用的蔬菜如青菜，包心菜，芹菜等的叶子排列也具有这个特性，只是不容易观察清楚。尽管这些逆螺旋的数目并不固定，但它们也并不随机，它们是斐波那契序列中的相邻数字。这样的螺旋被称为斐波那契螺旋。
自然界中各种各样的斐波那契螺旋
这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此，对于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360度之比是黄金分割数1.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时能达到89，甚至144条。
由于是自然规律而并非抽象的数学或哲学原理决定了植物各种器官的排列图样；另外还有具体环境的影响，比如地形、气候或病害，你并不总能找到完美的斐波那契螺旋。即使是生长得很健康的植物，也难免有这样那样的缺陷。仔细观察上面的图片，你会发现螺旋的中心经常是一片混乱。所以最后还是让我们来欣赏一下由计算机绘制出来的完美的斐波那契螺旋吧。
计算机绘制的斐波那契螺旋
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